Opgavetyper

Her finder du en oversigt over de mest almindelige opgavetyper i matematik med forklaring og løsningsmetoder.

1. Ligninger

1. grads ligning: ax + b = c

Metode: Isolér x på den ene side.

Trin 1: Træk b fra på begge sider → ax = c - b

Trin 2: Divider med a → x = (c - b) / a

x = (c - b) / a

Eksempel: 3x + 5 = 17
3x = 17 - 5 → 3x = 12 → x = 12/3 = 4

Beregn 1. grads ligning

a: b: c:

2. grads ligning: ax² + bx + c = 0

Metode: Brug diskriminanten.

d = b² - 4ac

Hvis d < 0: Ingen løsning
Hvis d = 0: Én løsning: x = -b / 2a
Hvis d > 0: To løsninger: x = (-b ± √d) / 2a

Eksempel: x² - 5x + 6 = 0
d = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x₁ = 3, x₂ = 2

Beregn 2. grads ligning

a: b: c:

2. Procentregning

Find procentdelen

Del = (Procent / 100) × Helhed

Find 20% af 250 kr:
0,20 × 250 = 50 kr

Find procentdelen

Procent: % Helhed:

Find procenten

Procent = (Del / Helhed) × 100

Hvor mange procent er 15 af 60?
(15/60) × 100 = 25%

Find procenten

Del: Helhed:

Find helheden

Helhed = Del / (Procent / 100)

20% af et tal er 40. Hvad er tallet?
40 / 0,20 = 200

Find helheden

Del: Procent: %

Procentændring

Ændring i % = ((Ny - Gammel) / Gammel) × 100

Pris går fra 100 kr til 125 kr:
((125 - 100) / 100) × 100 = +25%

Beregn procentændring

Gammel værdi: Ny værdi:

3. Brøkregning

Addition og subtraktion

Find fællesnævner først!

a/b + c/d = (ad + bc) / bd

¼ + ⅔ = (1·3 + 2·4) / (4·3) = (3+8)/12 = 11/12

Plus/Minus brøker

a/b + c/d:
a= / b= + c= / d=

Multiplikation

a/b × c/d = (a·c) / (b·d)

⅔ × ¾ = (2·3)/(3·4) = 6/12 = ½

Gange brøker

a/b × c/d:
a= / b= × c= / d=

Division

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a·d) / (b·c)

¾ ÷ ½ = ¾ × 2/1 = 6/4 = 1½

Divider brøker

a/b ÷ c/d:
a= / b= ÷ c= / d=

4. Vækst

Fremskrivningsfaktor

Vækst på r% → f = 1 + r/100

r > 0: Vækst (f > 1)
r < 0: Aftag (f < 1)

Exponentiel vækst

y = b × a^x

hvor a = fremskrivningsfaktor

Startværdi 100, vækst 10% per år:
y = 100 × 1,10^x
Efter 5 år: y = 100 × 1,10⁵ = 161,05

Beregn slutværdi

Startværdi: Rente (%): Antal år:

Lineær vækst

y = a × x + b

a = tilvækst per enhed, b = startværdi

Beregn lineær vækst

Startværdi (b): Tilvækst per enhed (a): Antal enheder (x):

5. Afbetaling af lån

Månedlig ydelse (annuitetslån)

Y = G × r / (1 - (1+r)^-n)

Hvor:
G = hovedstol (lånebeløb)
r = månedlig rente (årsrente/12)
n = antal måneder

Beregn månedlig ydelse

Lånebeløb (kr): Årsrente (%): Løbetid (år):

Gældsafvikling

Totalt betalt = Ydelse × Antal rater

Rente i alt = Totalt betalt - Hovedstol

6. Forrentning i bank

Simpel rente

Rente = Kapital × Rente% × Tid (år)

5000 kr i 3 år med 4% p.a.:
Rente = 5000 × 0,04 × 3 = 600 kr

Beregn simpel rente

Kapital (kr): Rente (%): Tid (år):

Rentetilskrivning (rentes rente)

K_n = K_0 × (1 + r)^n

K_n = kapital efter n år
K_0 = startkapital
r = rentesats (decimal)

5000 kr i 3 år med 4% p.a.:
K = 5000 × 1,04³ = 5624,32 kr

Beregn rentes rente

Startkapital (kr): Rente (%): Tid (år):

Månedlig opsparing

S = a × ((1+r)^n - 1) / r

hvor a = månedligt beløb

Beregn månedlig opsparing

Månedlig indskud (kr): Årsrente (%): Tid (år):

7. Trigonometri (Cos, Sin, Tan)

Retvinklet trekant

Sin = Modstående / Hypotenuse
Cos = Hosliggende / Hypotenuse
Tan = Modstående / Hosliggende

sin(A) = a/c | cos(A) = b/c | tan(A) = a/b

Beregn vinkel (fra to sider)

Modstående (a): Hosliggende (b): Hypotenuse (c):

Find vinkel (invers)

A = sin⁻¹(a/c) | A = cos⁻¹(b/c) | A = tan⁻¹(a/b)

Beregn vinkel med sin/cos/tan

Find side

Eksempel: A = 30°, c = 10
sin(30°) = a/10 → 0,5 = a/10 → a = 5

Beregn side (fra vinkel og hypotenuse)

Vinkel (°): Hypotenuse:

Pythagoras

a² + b² = c²

Pythagoras

a: b: c:

Tip: Husk: SOH-CAH-TOA
Sin = Opposite / Hypotenuse
Cos = Adjacent / Hypotenuse
Tan = Opposite / Adjacent